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Math Q&A



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작성자 철인희수팔호
작성일 2007-10-04 (목) 13:40
분 류 educ
ㆍ추천: 0  ㆍ조회: 1132  
사다리타기가 1-1 onto함수임을 어떻게 보일까요?
문제
당연한데, 당연한 것 같은데, 정말 당연할까요?
어제 중학생 과외봐주다가 사다리타기 그림을 봤거든요.
아무리 생각해도 당연한데 이걸 어떻게 수학적으로 상술할까요?

당연하다고 추측할 수 있는 부분은 사다리의 개수가 finite일때 이고,
예상컨데 사다리가 infinte이면 axiom of choice가 나타날 것 같습니다.
 
사실 finite일 경우 1-1 onto가 된다는 건 해결했는데요,
infinite일때는 어떻게 될까요?
 
이름아이콘 쏘냐도르스빠르따
2007-10-05 14:03
1) finite

Let S be a finite set having n elements.
그러면 사다리타기는 S에서 S로 가는 permutation들의 합성함수 입니다.
( permutation은 abstract algebra를 공부하면 볼 수 있죠 ^^; )
그러므로 사다리타기는 bijective function이 됩니다.



2) infinite
uncountable인 경우에는 사다리타기가 성립하지 않으므로 countable의 경우만 생각해야합니다.

사다리타기를 만들 때, 가로선을 긋는 행위는 이웃한 원소의 위치를 서로 바꾸는 작업입니다.
(위치가 바뀌는 이웃은 오직 하나)
'원소의 갯수가 countably infinite인 집합' S에서 S로 가는 사다리타기permutation을 생각해봅시다.
이 permutation은 이웃한 두 원소의 위치를 바꿔주는 함수인데, (위치가 바뀌는 이웃은 오직 하나)
여기서 '위치가 바뀌는 이웃'의 존재성은 AC로 보일 수 있습니다.
그러므로 infinite인 경우에도 bijective function입니다.
   
이름아이콘 kogan
2008-07-22 23:59
음.... 이거 미적분학 (김홍종저)에 나오는 문제내요... 이거 교수님한테 질문하니까 치환으로 해석하면 쉽게풀린다고 하더군요 ..
   
 
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